4. Касательные в точках \(A\) и \(B\) к окружности с центром \(O\) пересекаются под углом \(66^\circ\). Найдите угол \(ABO\). Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

• Пусть \(C\) — точка пересечения касательных \(AC\) и \(BC\). Тогда \(\angle ACB = 66^\circ\).
• Так как \(OA\) и \(OB\) — радиусы, проведенные в точки касания, то \(OA \perp AC\) и \(OB \perp BC\). Следовательно, \(\angle OAC = 90^\circ\) и \(\angle OBC = 90^\circ\).
• Рассмотрим четырехугольник \(OACB\). Сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\). Тогда
  \[\angle AOB = 360^\circ - \angle OAC - \angle OBC - \angle ACB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 66^\circ = 114^\circ\]
• Треугольник \(AOB\) — равнобедренный, так как \(OA = OB\) (радиусы). Значит, углы при основании равны: \(\angle OAB = \angle OBA\).
• Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Следовательно,
  \[\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2} = \frac{180^\circ - 114^\circ}{2} = \frac{66^\circ}{2} = 33^\circ\]
• Таким образом, \(\angle ABO = 33^\circ\).

Ответ: 33°