3. Площадь прямоугольного треугольника равна \(72\sqrt{3}\). Один из острых углов равен \(60^\circ\). Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пошаговое решение:

• Пусть \(S\) — площадь прямоугольного треугольника, \(\alpha\) — один из острых углов, \(a\) — катет, прилежащий к углу \(\alpha\), и \(b\) — другой катет.
• Дано: \(S = 72\sqrt{3}\) и \(\alpha = 60^\circ\).
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \(S = \frac{1}{2}ab\).
• Выразим катет \(b\) через катет \(a\) и угол \(\alpha\):
  \[\tan(\alpha) = \frac{b}{a}\]
  \[b = a \cdot \tan(\alpha)\]
• Подставим выражение для \(b\) в формулу площади:
  \[S = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \tan(\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \tan(\alpha)\]
  Отсюда
  \[a^2 = \frac{2S}{\tan(\alpha)}\]
  \[a = \sqrt{\frac{2S}{\tan(\alpha)}}\]
• Подставим известные значения:
  \[a = \sqrt{\frac{2 \cdot 72\sqrt{3}}{\tan(60^\circ)}} = \sqrt{\frac{144\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: 12