9. Касательные в точках А и В к окружности с центром O пересекаются под углом 68°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим четырехугольник, образованный точками касания A и B, точкой пересечения касательных (пусть это будет точка C) и центром окружности O. Это четырехугольник $$CAOB$$. Углы $$OAC$$ и $$OBC$$ прямые, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, поэтому $$\angle AOB = 360^\circ - \angle OAC - \angle OBC - \angle ACB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 68^\circ = 112^\circ$$. Теперь рассмотрим треугольник $$AOB$$. Он равнобедренный, так как $$OA = OB$$ (радиусы окружности). Следовательно, углы при основании равны, то есть $$\angle OAB = \angle OBA$$. Сумма углов в треугольнике $$AOB$$ равна 180°, поэтому $$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$$. Так как $$\angle OAB = \angle OBA$$, то $$2 \cdot \angle OBA = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$$. Отсюда, $$\angle OBA = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ$$. Ответ: 34