Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 36°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть точка пересечения касательных — точка C.

Угол между касательными \( \angle ACB = 36^{\circ} \).

\( OA \perp AC \) и \( OB \perp BC \), так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Рассмотрим четырёхугольник OACB. Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 36^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 216^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 216^{\circ} = 144^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник ABO. \( OA = OB \) (радиусы), значит, треугольник равнобедренный.

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle OBA + 144^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle OBA = 180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ} \)

\( \angle OBA = \frac{36^{\circ}}{2} = 18^{\circ} \).

Угол АВО равен углу ОВА.

Ответ: 18