Катер прошел 15 км против течения реки и 6 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?

Пусть собственная скорость катера равна v км/ч. Тогда скорость катера против течения равна (v - 2) км/ч, а по течению - (v + 2) км/ч. Время, затраченное на путь против течения, равно 15 / (v - 2) часов. Время, затраченное на путь по течению, равно 6 / (v + 2) часов. Общее время, затраченное на эти два участка, равно 15 / (v - 2) + 6 / (v + 2) часов. Время, затраченное на путь по озеру, равно 22 / v часов. Согласно условию задачи, эти времена равны: \frac{15}{v - 2} + \frac{6}{v + 2} = \frac{22}{v} Приведем к общему знаменателю: \frac{15(v + 2) + 6(v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = \frac{22}{v} Раскроем скобки: \frac{15v + 30 + 6v - 12}{v^2 - 4} = \frac{22}{v} Приведем подобные слагаемые: \frac{21v + 18}{v^2 - 4} = \frac{22}{v} Перемножим крест-накрест: (21v + 18)v = 22(v^2 - 4) Раскроем скобки: 21v^2 + 18v = 22v^2 - 88 Перенесем все в одну сторону: v^2 - 18v - 88 = 0 Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4(1)(-88) = 324 + 352 = 676. Так как D > 0, уравнение имеет два корня: v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{676}}{2(1)} = \frac{18 + 26}{2} = \frac{44}{2} = 22 v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{676}}{2(1)} = \frac{18 - 26}{2} = \frac{-8}{2} = -4 Так как скорость не может быть отрицательной, то v = 22 км/ч. Ответ: Собственная скорость катера равна 22 км/ч.