5. Катер прошел по течению реки 30 км и 24 км против течения за 9 ч. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

5. Пусть $$v$$ - собственная скорость катера (км/ч). Скорость течения реки $$3$$ км/ч.

По течению катер прошел $$30$$ км, против течения - $$24$$ км за $$9$$ часов.

Время, затраченное на путь по течению: $$\frac{30}{v + 3}$$

Время, затраченное на путь против течения: $$\frac{24}{v - 3}$$

Суммарное время: $$\frac{30}{v + 3} + \frac{24}{v - 3} = 9$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{30(v - 3) + 24(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 9$$

$$30v - 90 + 24v + 72 = 9(v^2 - 9)$$

$$54v - 18 = 9v^2 - 81$$

$$9v^2 - 54v - 63 = 0$$

Разделим на $$9$$:

$$v^2 - 6v - 7 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$

$$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость катера равна $$7$$ км/ч.

Ответ: 7 км/ч