5. Моторная лодка прошла 45 км по течению реки и 22 км против течения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 2 км/ч.

5. Пусть $$v$$ - скорость лодки в стоячей воде (км/ч). Скорость течения реки $$2$$ км/ч.

По течению лодка прошла $$45$$ км, против течения - $$22$$ км за $$5$$ часов.

Время, затраченное на путь по течению: $$\frac{45}{v + 2}$$

Время, затраченное на путь против течения: $$\frac{22}{v - 2}$$

Суммарное время: $$\frac{45}{v + 2} + \frac{22}{v - 2} = 5$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{45(v - 2) + 22(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 5$$

$$45v - 90 + 22v + 44 = 5(v^2 - 4)$$

$$67v - 46 = 5v^2 - 20$$

$$5v^2 - 67v + 26 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-67)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 26 = 4489 - 520 = 3969$$

$$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{67 + \sqrt{3969}}{2 \cdot 5} = \frac{67 + 63}{10} = \frac{130}{10} = 13$$

$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{67 - \sqrt{3969}}{2 \cdot 5} = \frac{67 - 63}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$$

Скорость лодки в стоячей воде $$13$$ км/ч.

Ответ: 13 км/ч