2. Катер прошёл 15 км против течения и 15 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он прошёл 36 км по озеру. Чему равна собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение задачи о катере: Обозначим собственную скорость катера за (v) (км/ч). Скорость течения реки известна и равна 2 км/ч. 1. **Время движения против течения:** Скорость против течения: (v - 2) км/ч. Время: (t_1 = \frac{15}{v - 2}) 2. **Время движения по течению:** Скорость по течению: (v + 2) км/ч. Время: (t_2 = \frac{15}{v + 2}) 3. **Общее время движения по реке:** (t_{река} = t_1 + t_2 = \frac{15}{v - 2} + \frac{15}{v + 2}) 4. **Время движения по озеру:** Скорость по озеру: (v) км/ч. Время: (t_{озеро} = \frac{36}{v}) 5. **Уравнение:** По условию, (t_{река} = t_{озеро}), поэтому: $$\frac{15}{v - 2} + \frac{15}{v + 2} = \frac{36}{v}$$ 6. Решим уравнение: 15v(v+2) + 15v(v-2) = 36(v-2)(v+2) 15v^2 + 30v + 15v^2 - 30v = 36(v^2 - 4) 30v^2 = 36v^2 - 144 6v^2 = 144 v^2 = 24 v = ±\sqrt{24} = ±2\sqrt{6} 7. Так как скорость не может быть отрицательной, остаётся только положительный корень. **Ответ:** Собственная скорость катера равна (2\sqrt{6}) км/ч, это примерно 4,9 км/ч.