014.4. Катер за 4 ч по течению реки проплывает на 10 км меньше, чем за 6 ч против течения. Найдите собственную скорость катера, если плот по этой реке за 15 ч проплывает такое же расстояние, что и катер за 2 ч по озеру.

Пусть $$x$$ км/ч - собственная скорость катера, $$y$$ км/ч - скорость течения реки.

Тогда, скорость катера по течению реки: $$(x+y)$$ км/ч, а против течения реки: $$(x-y)$$ км/ч.

Расстояние, которое проплывает катер по течению за 4 часа: $$4(x+y)$$ км.

Расстояние, которое проплывает катер против течения за 6 часов: $$6(x-y)$$ км.

Из условия, катер за 4 ч по течению реки проплывает на 10 км меньше, чем за 6 ч против течения. Составим уравнение:

$$4(x+y) + 10 = 6(x-y)$$.

Плот проплывает за 15 ч такое же расстояние, что и катер за 2 ч по озеру. Следовательно, расстояние равно $$15y$$ и $$2x$$.

Составим уравнение: $$15y=2x$$

Получили систему уравнений:

$$\begin{cases} 4(x+y) + 10 = 6(x-y) \\ 15y = 2x \end{cases}$$

Раскроем скобки в первом уравнении:

$$4x+4y+10 = 6x-6y$$

$$2x-10y = 10$$

$$x-5y=5$$

Выразим x через y: $$x = 5y+5$$

Подставим во второе уравнение: $$15y = 2(5y+5)$$.

$$15y = 10y+10$$

$$5y = 10$$

$$y = 2$$

Тогда $$x = 5 \cdot 2 + 5 = 15$$

Собственная скорость катера 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч