1) Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?

Давайте решим эту задачу вместе. У нас есть задача на геометрическую прогрессию. Первый прыжок мячика равен 2,4 м, и каждый следующий прыжок в два раза меньше предыдущего. Нам нужно найти, при каком по счету прыжке мячик впервые не достигнет высоты 5 см (0,05 м). Высота прыжков мячика образует геометрическую прогрессию, где первый член ( a_1 = 2.4 ) и знаменатель ( q = \frac{1}{2} = 0.5 ). Общий член геометрической прогрессии задается формулой: $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$, где ( a_n ) - высота n-го прыжка. Мы хотим найти наименьшее ( n ) такое, что ( a_n < 0.05 ). То есть: $$2.4 \cdot (0.5)^{n-1} < 0.05$$ Разделим обе части неравенства на 2.4: $$(0.5)^{n-1} < \frac{0.05}{2.4} = \frac{5}{240} = \frac{1}{48}$$ Теперь нужно найти такое ( n ), чтобы ( (0.5)^{n-1} ) было меньше, чем ( \frac{1}{48} ). Можно взять логарифм по основанию 0.5 от обеих частей неравенства, но можно и просто подобрать значения ( n ), пока не найдём нужное: * Для n = 1: ( (0.5)^{1-1} = (0.5)^0 = 1 ) * Для n = 2: ( (0.5)^{2-1} = (0.5)^1 = 0.5 = \frac{1}{2} ) * Для n = 3: ( (0.5)^{3-1} = (0.5)^2 = 0.25 = \frac{1}{4} ) * Для n = 4: ( (0.5)^{4-1} = (0.5)^3 = 0.125 = \frac{1}{8} ) * Для n = 5: ( (0.5)^{5-1} = (0.5)^4 = 0.0625 = \frac{1}{16} ) * Для n = 6: ( (0.5)^{6-1} = (0.5)^5 = 0.03125 = \frac{1}{32} ) Заметим, что ( \frac{1}{32} > \frac{1}{48} ). * Для n = 7: ( (0.5)^{7-1} = (0.5)^6 = 0.015625 = \frac{1}{64} ) Здесь ( \frac{1}{64} < \frac{1}{48} ), значит, при n = 7 мячик впервые не достигнет высоты 5 см. Таким образом, ответ: 7.