4 K K =90° 5 M T 12 N

На изображении представлен прямоугольный треугольник KMN, где угол K прямой, а KT - высота, опущенная на гипотенузу MN. Нам известны длины отрезков MK = 5 и KN = 12.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы MN:

$$MN^2 = MK^2 + KN^2$$

$$MN^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$

$$MN = \sqrt{169} = 13$$

Площадь треугольника KMN можно вычислить как половину произведения катетов:

$$S = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot KN = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$$

Также площадь треугольника можно вычислить как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на эту гипотенузу:

$$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot KT$$

$$30 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot KT$$

$$KT = \frac{2 \cdot 30}{13} = \frac{60}{13}$$

Таким образом, высота KT равна $$\frac{60}{13}$$

Рассмотрим треугольник MKT, он прямоугольный. Тогда $$MT = \sqrt{MK^2 - KT^2}$$

$$MT = \sqrt{5^2 - (\frac{60}{13})^2} = \sqrt{25 - \frac{3600}{169}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 169 - 3600}{169}} = \sqrt{\frac{4225 - 3600}{169}} = \sqrt{\frac{625}{169}} = \frac{25}{13}$$

Аналогично, в треугольнике KTN: $$TN = \sqrt{KN^2 - KT^2}$$

$$TN = \sqrt{12^2 - (\frac{60}{13})^2} = \sqrt{144 - \frac{3600}{169}} = \sqrt{\frac{144 \cdot 169 - 3600}{169}} = \sqrt{\frac{24336 - 3600}{169}} = \sqrt{\frac{20736}{169}} = \frac{144}{13}$$

Нам необходимо найти все отрезки, а именно MN, MT, TN и KT.

$$MN = 13, MT = \frac{25}{13}, TN = \frac{144}{13}, KT = \frac{60}{13}$$

Ответ: MN = 13, MT = $$\frac{25}{13}$$, TN = $$\frac{144}{13}$$, KT = $$\frac{60}{13}$$