2 MN = 25 K K=90° 12 NO L M

Для решения этой задачи, нам нужно найти взаимосвязь между сторонами прямоугольного треугольника. У нас есть прямоугольный треугольник KNM, где угол K прямой. Также у нас есть высота KL, опущенная на гипотенузу MN.

В данной задаче мы имеем прямоугольный треугольник KNM с прямым углом K и высотой KL, опущенной на гипотенузу MN. Длина высоты KL известна и равна 12, а длина гипотенузы MN равна 25.

Площадь треугольника KNM можно вычислить двумя способами:

• Как половину произведения катетов, то есть $$S = \frac{1}{2} K KM$$
• Как половину произведения гипотенузы на высоту, то есть $$S = \frac{1}{2} MN KL$$

Приравняем эти два выражения для площади:

$$\frac{1}{2} K KM = \frac{1}{2} MN KL$$

$$KN \cdot KM = MN \cdot KL$$

Из этого уравнения мы можем выразить произведение катетов:

$$KN \cdot KM = 25 \cdot 12 = 300$$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники KLN и KLM. В треугольнике KLN имеем:

$$KN^2 = KL^2 + LN^2$$

В треугольнике KLM имеем:

$$KM^2 = KL^2 + LM^2$$

Сложим эти два уравнения:

$$KN^2 + KM^2 = 2 \cdot KL^2 + LN^2 + LM^2$$

$$KN^2 + KM^2 = 2 \cdot 12^2 + (LN + LM)^2$$

Так как LN + LM = MN, то:

$$KN^2 + KM^2 = (25)^2$$

$$KN^2 + KM^2 = 625$$

Используем формулу квадрата суммы:

$$(KN + KM)^2 = KN^2 + 2 \cdot KN \cdot KM + KM^2$$

И подставим известные значения:

$$(KN + KM)^2 = 625 + 2 \cdot 300 = 1225$$

$$KN + KM = \sqrt{1225} = 35$$

Теперь у нас есть система двух уравнений:

1. KN + KM = 35
2. KN \cdot KM = 300

Из первого уравнения выразим KN: KN = 35 - KM. Подставим это во второе уравнение:

$$(35 - KM) \cdot KM = 300$$

$$35KM - KM^2 = 300$$

$$KM^2 - 35KM + 300 = 0$$

Решим это квадратное уравнение относительно KM:

$$KM = \frac{-(-35) \pm \sqrt{(-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1} = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 1200}}{2} = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{35 \pm 5}{2}$$

Таким образом, у нас есть два возможных значения для KM:

1. KM = (35 + 5) / 2 = 40 / 2 = 20
2. KM = (35 - 5) / 2 = 30 / 2 = 15

Если KM = 20, то KN = 35 - 20 = 15.

Если KM = 15, то KN = 35 - 15 = 20.

Ответ: KN = 15 или KN = 20.