9. Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить його бічну сторону на відрізки 5 см і 2 см завдовжки, починаючи від вершини, що протилежна основі. Знайдіть периметр трикутника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC$$. Вписанная окружность делит боковую сторону $$AB$$ на отрезки 5 см и 2 см, начиная от вершины $$B$$. Значит, $$AB = 5 + 2 = 7$$ см. Так как треугольник равнобедренный, то $$BC = AB = 7$$ см.

Пусть окружность касается стороны $$AB$$ в точке $$D$$, стороны $$BC$$ в точке $$E$$, а стороны $$AC$$ в точке $$F$$. Тогда $$BD = BE$$ как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности. Значит, $$BE = 5$$ см, а $$EC = BC - BE = 7 - 5 = 2$$ см.

Аналогично, $$EC = FC$$ как отрезки касательных, проведенных из точки $$C$$, следовательно, $$FC = 2$$ см. Также $$AF = AD$$ как отрезки касательных, проведенных из точки $$A$$, и $$AD = 2$$ см. Тогда $$AC = AF + FC = 2 + 2 = 4$$ см.

Периметр треугольника $$ABC$$ равен $$P = AB + BC + AC = 7 + 7 + 4 = 18$$ см.

Ответ: Периметр треугольника равен 18 см.