1. Контрольная работа № 4 Тема. Векторы Вариант 1 Даны точки А (-2; 3), В (1; −1), C (2; 4). Найдите: 1) координаты векторов АВ и СА; 2) модули векторов АВ и СА; 3) координаты вектора МN =3АВ – 2СА; 4) скалярное произведение векторов АВ и СА; 5) косинус угла между векторами АВ и СА.

Ответ:

1. Координаты векторов:
• \(\overrightarrow{AB} = (1 - (-2); -1 - 3) = (3; -4)\)
• \(\overrightarrow{CA} = (-2 - 2; 3 - 4) = (-4; -1)\)
2. Модули векторов:
• \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
• \(|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\)
3. Координаты вектора MN:
• \(\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA} = 3(3; -4) - 2(-4; -1) = (9; -12) - (-8; -2) = (9 + 8; -12 + 2) = (17; -10)\)
4. Скалярное произведение векторов AB и CA:
• \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8\)
5. Косинус угла между векторами AB и CA:
• \(\cos(\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA})) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CA}|} = \frac{-8}{5\sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}} = -\frac{8\sqrt{17}}{5 \cdot 17} = -\frac{8\sqrt{17}}{85}\)

Ответ:

1) \(\overrightarrow{AB} = (3; -4)\), \(\overrightarrow{CA} = (-4; -1)\); 2) \(|\overrightarrow{AB}| = 5\), \(|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{17}\); 3) \(\overrightarrow{MN} = (17; -10)\); 4) -8; 5) \(\cos(\angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA})) = -\frac{8\sqrt{17}}{85}\)