5. Найдите косинус угла между векторами а = n + 2т и b = 3n-т, если т⊥n, |m|=|n|=1.

Дано: $$a = n + 2m$$, $$b = 3n - m$$, $$m \perp n$$, $$|m| = |n| = 1$$.

Найти: косинус угла между векторами a и b.

$$\cos(\alpha) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}$$

Найдем скалярное произведение a и b:

$$a \cdot b = (n + 2m)(3n - m) = 3n^2 - nm + 6nm - 2m^2 = 3n^2 + 5nm - 2m^2$$

Т.к. векторы m и n перпендикулярны, то $$n \cdot m = 0$$.

Тогда:

$$a \cdot b = 3n^2 - 2m^2$$

Т.к. $$|m| = |n| = 1$$, то

$$a \cdot b = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$$

Найдем модуль вектора a:

$$|a| = \sqrt{(n + 2m)^2} = \sqrt{n^2 + 4nm + 4m^2} = \sqrt{n^2 + 4m^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

Найдем модуль вектора b:

$$|b| = \sqrt{(3n - m)^2} = \sqrt{9n^2 - 6nm + m^2} = \sqrt{9n^2 + m^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

Найдем косинус угла между векторами a и b:

$$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$$

Ответ: $$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{10}$$.