Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Вариант 1
1. Найти область определения функции $$y = \sqrt{4-x^2}$$.
Область определения функции - это множество всех допустимых значений аргумента x, при которых функция имеет смысл. В данном случае, функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно:
$$4 - x^2 \ge 0$$
$$x^2 \le 4$$
$$-2 \le x \le 2$$
Ответ: $$x \in [-2; 2]$$
2. Изобразить эскиз графика функции $$y = x^{-5}$$.
1) Выяснить, на каких промежутках функция убывает.
Функция $$y = x^{-5} = \frac{1}{x^5}$$ определена для всех $$x \ne 0$$.
Производная функции: $$y' = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$$.
Так как $$x^6 > 0$$ для всех $$x \ne 0$$, то $$y' < 0$$ для всех $$x \ne 0$$.
Следовательно, функция убывает на интервалах $$(-\infty; 0)$$ и $$(0; +\infty)$$.
Ответ: Функция убывает на интервалах $$(-\infty; 0)$$ и $$(0; +\infty)$$.
2) Сравнить числа: $$(\frac{1}{7})^{-5}$$ и $$1$$; $$(3,2)^5$$ и $$(3\sqrt{2})^{-5}$$.
- Сравним $$\left(\frac{1}{7}\right)^{-5}$$ и $$1$$:
$$(\frac{1}{7})^{-5} = 7^5 = 16807$$
Так как $$16807 > 1$$, то $$\left(\frac{1}{7}\right)^{-5} > 1$$.
- Сравним $$(3,2)^5$$ и $$(3\sqrt{2})^{-5}$$:
$$3.2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$$.
$$(3,2)^5 = \left(\frac{16}{5}\right)^5 = \frac{16^5}{5^5}$$.
$$3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{1}$$.
$$(3\sqrt{2})^{-5} = \frac{1}{(3\sqrt{2})^5} = \frac{1}{3^5 \cdot (\sqrt{2})^5} = \frac{1}{243 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{1}{972\sqrt{2}}$$.
Можно приближенно оценить: $$\frac{16^5}{5^5} = \frac{1048576}{3125} \approx 335.54$$.
$$\frac{1}{972\sqrt{2}} \approx \frac{1}{972 \cdot 1.414} \approx \frac{1}{1374.328} \approx 0.000727$$.
Следовательно, $$(3,2)^5 > (3\sqrt{2})^{-5}$$.
Ответ: $$\left(\frac{1}{7}\right)^{-5} > 1$$, $$(3,2)^5 > (3\sqrt{2})^{-5}$$.
3. Решить уравнение:
1) $$\sqrt{1-x} = 3$$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$1 - x = 9$$
$$x = 1 - 9 = -8$$
Проверка: $$\sqrt{1 - (-8)} = \sqrt{9} = 3$$.
Ответ: $$x = -8$$
2) $$\sqrt{x+2} = \sqrt{3-x}$$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$x + 2 = 3 - x$$
$$2x = 1$$
$$x = \frac{1}{2}$$
Проверка: $$\sqrt{\frac{1}{2} + 2} = \sqrt{\frac{5}{2}}$$, $$\sqrt{3 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$$.
Ответ: $$x = \frac{1}{2}$$
3) $$\sqrt{1-x} = x + 1$$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$1 - x = (x + 1)^2$$
$$1 - x = x^2 + 2x + 1$$
$$x^2 + 3x = 0$$
$$x(x + 3) = 0$$
$$x_1 = 0, x_2 = -3$$
Проверка:
Если $$x = 0$$, то $$\sqrt{1 - 0} = 1$$ и $$0 + 1 = 1$$. Подходит.
Если $$x = -3$$, то $$\sqrt{1 - (-3)} = \sqrt{4} = 2$$ и $$-3 + 1 = -2$$. Не подходит.
Ответ: $$x = 0$$
4) $$\sqrt{2x+5} - \sqrt{x+6} = 1$$
$$\sqrt{2x+5} = \sqrt{x+6} + 1$$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$2x + 5 = x + 6 + 2\sqrt{x+6} + 1$$
$$x - 2 = 2\sqrt{x+6}$$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$x^2 - 4x + 4 = 4(x+6)$$
$$x^2 - 4x + 4 = 4x + 24$$
$$x^2 - 8x - 20 = 0$$
$$D = 64 + 80 = 144$$
$$x_1 = \frac{8 + 12}{2} = 10$$
$$x_2 = \frac{8 - 12}{2} = -2$$
Проверка:
Если $$x = 10$$, то $$\sqrt{20+5} - \sqrt{10+6} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$$. Подходит.
Если $$x = -2$$, то $$\sqrt{-4+5} - \sqrt{-2+6} = \sqrt{1} - \sqrt{4} = 1 - 2 = -1$$. Не подходит.
Ответ: $$x = 10$$
4. Найти функцию, обратную к функции $$y = (x-8)^{-1}$$, указать её область определения и множество значений.
$$y = \frac{1}{x-8}$$
Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить x через y:
$$x - 8 = \frac{1}{y}$$
$$x = \frac{1}{y} + 8$$
Поменяем x и y местами:
$$y = \frac{1}{x} + 8$$
Область определения обратной функции: $$x \ne 0$$.
Множество значений обратной функции: $$y \ne 8$$.
Ответ: Обратная функция: $$y = \frac{1}{x} + 8$$. Область определения: $$x \ne 0$$. Множество значений: $$y \ne 8$$.
5. Решить неравенство $$\sqrt{x+8} > x+2$$.
Для начала найдем область определения неравенства:
$$x + 8 \ge 0$$
$$x \ge -8$$
Теперь рассмотрим два случая:
Случай 1: $$x + 2 < 0$$ или $$x < -2$$
В этом случае, неравенство всегда выполняется, так как корень всегда неотрицателен.
$$x \in [-8; -2)$$.
Случай 2: $$x + 2 \ge 0$$ или $$x \ge -2$$
В этом случае можно возвести обе части неравенства в квадрат:
$$x + 8 > (x + 2)^2$$
$$x + 8 > x^2 + 4x + 4$$
$$x^2 + 3x - 4 < 0$$
$$(x+4)(x-1) < 0$$
Решением этого неравенства является интервал $$(-4; 1)$$.
Учитывая условие $$x \ge -2$$, получаем интервал $$[-2; 1)$$.
Объединяем решения из обоих случаев: $$[-8; -2) \cup [-2; 1) = [-8; 1)$$.
Ответ: $$x \in [-8; 1)$$
