Контрольная работа № 2 Вариант 1 1. Найти область определения функции y = √4-x2. 2. Изобразить эскиз графика функции у = х-5. 1) Выяснить, на каких промежутках функция убывает. 2) Сравнить числа: 1-7 3. Решить уравнение: 1) √1-x = 3; и 1; (3,2)5 и (3-2)-5. 2) √x+2=√3-x; 3)√ =x+1; 4) √2x+5-√x + 6 = 1. 4. Найти функцию, обратную к функции y = (x8)-1, указать её область определения и множ 5. Решить неравенство √x+8>x+2.

Вариант 1

1. Найти область определения функции $$y = \sqrt{4-x^2}$$.

Область определения функции - это множество всех допустимых значений аргумента x, при которых функция имеет смысл. В данном случае, функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$$4 - x^2 \ge 0$$

$$x^2 \le 4$$

$$-2 \le x \le 2$$

Ответ: $$x \in [-2; 2]$$

2. Изобразить эскиз графика функции $$y = x^{-5}$$.

1) Выяснить, на каких промежутках функция убывает.

Функция $$y = x^{-5} = \frac{1}{x^5}$$ определена для всех $$x
e 0$$.

Производная функции: $$y' = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$$.

Так как $$x^6 > 0$$ для всех $$x
e 0$$, то $$y' < 0$$ для всех $$x
e 0$$.

Следовательно, функция убывает на интервалах $$(-\infty; 0)$$ и $$(0; +\infty)$$.

Ответ: Функция убывает на интервалах $$(-\infty; 0)$$ и $$(0; +\infty)$$.

2) Сравнить числа: $$(\frac{1}{7})^{-5}$$ и $$1$$; $$(3,2)^5$$ и $$(3\sqrt{2})^{-5}$$.

• Сравним $$\left(\frac{1}{7}\right)^{-5}$$ и $$1$$:

$$(\frac{1}{7})^{-5} = 7^5 = 16807$$

Так как $$16807 > 1$$, то $$\left(\frac{1}{7}\right)^{-5} > 1$$.

• Сравним $$(3,2)^5$$ и $$(3\sqrt{2})^{-5}$$:

$$3.2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$$.

$$(3,2)^5 = \left(\frac{16}{5}\right)^5 = \frac{16^5}{5^5}$$.

$$3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{1}$$.

$$(3\sqrt{2})^{-5} = \frac{1}{(3\sqrt{2})^5} = \frac{1}{3^5 \cdot (\sqrt{2})^5} = \frac{1}{243 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{1}{972\sqrt{2}}$$.

Можно приближенно оценить: $$\frac{16^5}{5^5} = \frac{1048576}{3125} \approx 335.54$$.

$$\frac{1}{972\sqrt{2}} \approx \frac{1}{972 \cdot 1.414} \approx \frac{1}{1374.328} \approx 0.000727$$.

Следовательно, $$(3,2)^5 > (3\sqrt{2})^{-5}$$.

Ответ: $$\left(\frac{1}{7}\right)^{-5} > 1$$, $$(3,2)^5 > (3\sqrt{2})^{-5}$$.

3. Решить уравнение:

1) $$\sqrt{1-x} = 3$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$1 - x = 9$$

$$x = 1 - 9 = -8$$

Проверка: $$\sqrt{1 - (-8)} = \sqrt{9} = 3$$.

Ответ: $$x = -8$$

2) $$\sqrt{x+2} = \sqrt{3-x}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x + 2 = 3 - x$$

$$2x = 1$$

$$x = \frac{1}{2}$$

Проверка: $$\sqrt{\frac{1}{2} + 2} = \sqrt{\frac{5}{2}}$$, $$\sqrt{3 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$$.

Ответ: $$x = \frac{1}{2}$$

3) $$\sqrt{1-x} = x + 1$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$1 - x = (x + 1)^2$$

$$1 - x = x^2 + 2x + 1$$

$$x^2 + 3x = 0$$

$$x(x + 3) = 0$$

$$x_1 = 0, x_2 = -3$$

Проверка:

Если $$x = 0$$, то $$\sqrt{1 - 0} = 1$$ и $$0 + 1 = 1$$. Подходит.

Если $$x = -3$$, то $$\sqrt{1 - (-3)} = \sqrt{4} = 2$$ и $$-3 + 1 = -2$$. Не подходит.

Ответ: $$x = 0$$

4) $$\sqrt{2x+5} - \sqrt{x+6} = 1$$

$$\sqrt{2x+5} = \sqrt{x+6} + 1$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$2x + 5 = x + 6 + 2\sqrt{x+6} + 1$$

$$x - 2 = 2\sqrt{x+6}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x^2 - 4x + 4 = 4(x+6)$$

$$x^2 - 4x + 4 = 4x + 24$$

$$x^2 - 8x - 20 = 0$$

$$D = 64 + 80 = 144$$

$$x_1 = \frac{8 + 12}{2} = 10$$

$$x_2 = \frac{8 - 12}{2} = -2$$

Проверка:

Если $$x = 10$$, то $$\sqrt{20+5} - \sqrt{10+6} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$$. Подходит.

Если $$x = -2$$, то $$\sqrt{-4+5} - \sqrt{-2+6} = \sqrt{1} - \sqrt{4} = 1 - 2 = -1$$. Не подходит.

Ответ: $$x = 10$$

4. Найти функцию, обратную к функции $$y = (x-8)^{-1}$$, указать её область определения и множество значений.

$$y = \frac{1}{x-8}$$

Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить x через y:

$$x - 8 = \frac{1}{y}$$

$$x = \frac{1}{y} + 8$$

Поменяем x и y местами:

$$y = \frac{1}{x} + 8$$

Область определения обратной функции: $$x
e 0$$.

Множество значений обратной функции: $$y
e 8$$.

Ответ: Обратная функция: $$y = \frac{1}{x} + 8$$. Область определения: $$x
e 0$$. Множество значений: $$y
e 8$$.

5. Решить неравенство $$\sqrt{x+8} > x+2$$.

Для начала найдем область определения неравенства:

$$x + 8 \ge 0$$

$$x \ge -8$$

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: $$x + 2 < 0$$ или $$x < -2$$

В этом случае, неравенство всегда выполняется, так как корень всегда неотрицателен.

$$x \in [-8; -2)$$.

Случай 2: $$x + 2 \ge 0$$ или $$x \ge -2$$

В этом случае можно возвести обе части неравенства в квадрат:

$$x + 8 > (x + 2)^2$$

$$x + 8 > x^2 + 4x + 4$$

$$x^2 + 3x - 4 < 0$$

$$(x+4)(x-1) < 0$$

Решением этого неравенства является интервал $$(-4; 1)$$.

Учитывая условие $$x \ge -2$$, получаем интервал $$[-2; 1)$$.

Объединяем решения из обоих случаев: $$[-8; -2) \cup [-2; 1) = [-8; 1)$$.

Ответ: $$x \in [-8; 1)$$