3. Решить уравнение: 1) √x-2= 4; 2) √5-x = √x−2; 3) √x+1=1-x; 4) √3x+1-√x + 8 = 1.

3. Решить уравнение:

1) $$\sqrt{x-2} = 4$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x - 2 = 16$$

$$x = 18$$

Проверка: $$\sqrt{18 - 2} = \sqrt{16} = 4$$.

Ответ: $$x = 18$$

2) $$\sqrt{5-x} = \sqrt{x-2}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$5 - x = x - 2$$

$$2x = 7$$

$$x = \frac{7}{2} = 3.5$$

Проверка: $$\sqrt{5 - 3.5} = \sqrt{1.5}$$ и $$\sqrt{3.5 - 2} = \sqrt{1.5}$$.

Ответ: $$x = 3.5$$

3) $$\sqrt{x+1} = 1 - x$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x + 1 = (1 - x)^2$$

$$x + 1 = 1 - 2x + x^2$$

$$x^2 - 3x = 0$$

$$x(x - 3) = 0$$

$$x_1 = 0, x_2 = 3$$

Проверка:

Если $$x = 0$$, то $$\sqrt{0+1} = 1$$ и $$1 - 0 = 1$$. Подходит.

Если $$x = 3$$, то $$\sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$$ и $$1 - 3 = -2$$. Не подходит.

Ответ: $$x = 0$$

4) $$\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+8} = 1$$

$$\sqrt{3x+1} = \sqrt{x+8} + 1$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$3x + 1 = x + 8 + 2\sqrt{x+8} + 1$$

$$2x - 8 = 2\sqrt{x+8}$$

$$x - 4 = \sqrt{x+8}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x^2 - 8x + 16 = x + 8$$

$$x^2 - 9x + 8 = 0$$

$$D = 81 - 32 = 49$$

$$x_1 = \frac{9 + 7}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{9 - 7}{2} = 1$$

Проверка:

Если $$x = 8$$, то $$\sqrt{24+1} - \sqrt{8+8} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$$. Подходит.

Если $$x = 1$$, то $$\sqrt{3+1} - \sqrt{1+8} = \sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 - 3 = -1$$. Не подходит.

Ответ: $$x = 8$$