Контрольная работа № 2 «Равные треугольники», 1 вариант. 1. Дано: AO = BO, CO = DO, CO = 5 см, BO = 3 см, BD = 4 см. Найти: периметр △CAO. 2. Луч AD — биссектриса угла A. На сторонах угла A отмечены точки B и C, так, что ∠ADB = ∠ADC. Доказать, что AB = AC. 3. В равнобедренном треугольнике ABC точки K и M являются серединами боковых сторон AB и BC соответственно. BD — медиана треугольника. Доказать, что △BKD = △BMD. 4. (доп.) В равнобедренном треугольнике с периметром 48 см боковая сторона относится к основанию как 5 : 2. Найти стороны треугольника.

1. Данные противоречат друг другу. Из \(CO=DO=5\) см и \(BO=AO=3\) см следует, что в треугольнике BOD сумма длин двух сторон равна 8 см, поэтому \(BD\) не может быть 4 см: по неравенству треугольника \(BD>|5-3|=2\), но точное равенство 4 см само по себе возможно. Однако для периметра \(\triangle CAO\) известны \(CO=5\) см и \(AO=3\) см, но длина CA не определяется однозначно: недостаточно согласованных данных о взаимном расположении точек и угле. Поэтому периметр определить нельзя. Уточните расположение точек или исходное условие.

2. В треугольниках ADB и ADC: \(AD\) — общая сторона; \(\angle BAD=\angle DAC\), поскольку AD — биссектриса; по условию \(\angle ADB=\angle ADC\). Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, соответствующие стороны равны: \(AB=AC\).

3. Так как ABC равнобедренный, \(AB=BC\). Поскольку K и M — середины боковых сторон, \(BK=AB/2\) и \(BM=BC/2\), следовательно, \(BK=BM\). Медиана BD проведена к основанию AC; в равнобедренном треугольнике она также является биссектрисой угла B, поэтому \(\angle KBD=\angle DBM\). Кроме того, BD — общая сторона. Значит, \(\triangle BKD=\triangle BMD\) по двум сторонам и углу между ними.

4. Пусть боковая сторона равна \(5x\), а основание — \(2x\). Тогда \(5x+5x+2x=48\), откуда \(12x=48\) и \(x=4\). Боковые стороны равны 20 см, основание — 8 см.

Ответ: боковые стороны — по 20 см, основание — 8 см.