Контрольная работа № 2 «Равные треугольники», 2 вариант. 1. Дано: AB = CD, BC = AD. AC = 7 см, AD = 6 см, AB = 4 см. Найти: периметр △ADC. 2. На сторонах угла D отмечены точки M и K так, что DM = DK. Точка P лежит внутри угла и PK = PM. Доказать, что луч DP — биссектриса угла MDK. 3. В равнобедренном △ABC точки K и M являются серединами боковых сторон AB и BC соответственно. BD — медиана треугольника. Доказать, что △AKD = △CMD.

1. По условию \(AD=6\) см, \(DC=AB=4\) см, а \(AC=7\) см. Периметр: \(P_{ADC}=AD+DC+AC=6+4+7=17\) см.

Ответ: 17 см.

2. Рассмотрим треугольники DMP и DKP. Имеем \(DM=DK\), \(PM=PK\), а DP — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы \(\angle MDP\) и \(\angle PDK\) равны. Значит, луч DP делит угол MDK пополам и является его биссектрисой.

3. В равнобедренном треугольнике \(AB=BC\), а BD — медиана к основанию AC. Поэтому \(AD=DC\), а треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу между ними; отсюда \(BD\) — биссектриса угла B и \(\angle ABD=\angle DBC\). Так как K и M — середины боковых сторон, \(AK=CM\) и \(BK=BM\). Углы AKD и CMD равны как углы, образованные соответствующими равными частями симметричных равных треугольников ABD и CBD; аналогично получаем соответствующее равенство сторон KD=MD. Тогда \(AK=CM\), \(AD=CD\), \(KD=MD\), следовательно, \(\triangle AKD=\triangle CMD\) по трём сторонам.