Контрольная работа №3. Вариант ІІ. 1. Решите систему уравнений: a) (x – 3y = 2 xy + y = 6; б) (x²-2xy + y² = 9

Решим системы уравнений.

a)

$$ \begin{cases} x - 3y = 2 \\ xy + y = 6 \end{cases} $$ Выразим x из первого уравнения: $$x = 2 + 3y$$. Подставим во второе уравнение: $$(2 + 3y)y + y = 6$$

$$2y + 3y^2 + y - 6 = 0$$

$$3y^2 + 3y - 6 = 0$$

$$y^2 + y - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$$ Найдем соответствующие значения x:

$$x_1 = 2 + 3y_1 = 2 + 3(1) = 5$$ $$x_2 = 2 + 3y_2 = 2 + 3(-2) = -4$$ Ответ: $$ (5; 1), (-4; -2) $$

б)

$$ \begin{cases} y - 3x = 1 \\ x^2 - 2xy + y^2 = 9 \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение: $$(x - y)^2 = 9$$, следовательно, $$x - y = \pm 3$$

Рассмотрим два случая:

1. $$ \begin{cases} y - 3x = 1 \\ x - y = 3 \end{cases} $$ Выразим y из второго уравнения: $$y = x - 3$$. Подставим в первое уравнение: $$(x - 3) - 3x = 1$$ $$x - 3 - 3x = 1$$ $$-2x = 4$$ $$x = -2$$ $$y = -2 - 3 = -5$$
2. $$ \begin{cases} y - 3x = 1 \\ x - y = -3 \end{cases} $$ Выразим y из второго уравнения: $$y = x + 3$$. Подставим в первое уравнение: $$(x + 3) - 3x = 1$$ $$x + 3 - 3x = 1$$ $$-2x = -2$$ $$x = 1$$ $$y = 1 + 3 = 4$$

Ответ: $$ (-2; -5), (1; 4) $$

Ответ: a) $$(5; 1), (-4; -2)$$, б) $$ (-2; -5), (1; 4) $$