Контрольные вопросы и задания: 1. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения. 2. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби. 3. Докажите тождество √(x²) = |x|. 4. Покажите на примере выражения √(a¹²), как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.

Теорема о корне из произведения. Если a ≥ 0 и b ≥ 0, то √(ab) = √a · √b.

Доказательство: √a и √b неотрицательны, поэтому их произведение неотрицательно. Кроме того, (√a · √b)² = ab. По определению арифметического квадратного корня √(ab) — неотрицательное число, квадрат которого равен ab. Значит, √(ab) = √a · √b.

Теорема о корне из дроби. Если a ≥ 0 и b > 0, то √(a/b) = √a/√b.

Доказательство: √a/√b неотрицательно, поскольку числитель и знаменатель неотрицательны, а √b > 0. Его квадрат равен (√a/√b)² = a/b. Следовательно, по определению арифметического квадратного корня √(a/b) = √a/√b.

Если x ≥ 0, то |x| = x и √(x²) = x. Если x < 0, то |x| = −x и (−x)² = x², причём −x > 0, поэтому √(x²) = −x. В обоих случаях √(x²) = |x|.

Показатель 12 чётный: √(a¹²) = √((a⁶)²) = |a⁶| = a⁶, поскольку шестая степень неотрицательна.