Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 48. Найдите объём шара.

Решение:

Обозначим радиус основания конуса как \( r_к \), радиус шара как \( R \) и высоту конуса как \( h_к \).

По условию, радиус основания конуса равен радиусу шара: \( r_к = R \).

Объём конуса вычисляется по формуле: \( V_к = \frac{1}{3} \pi r_к^2 h_к \). Нам дано \( V_к = 48 \).

\( 48 = \frac{1}{3} \pi R^2 h_к \) (1)

Когда конус вписан в шар так, что радиус его основания равен радиусу шара, это означает, что вершина конуса находится на поверхности шара, а основание конуса проходит через центр шара. В этом случае высота конуса равна радиусу шара: \( h_к = R \).

Подставим \( h_к = R \) в уравнение (1):

\( 48 = \frac{1}{3} \pi R^2 R \)

\( 48 = \frac{1}{3} \pi R^3 \)

Из этого уравнения выразим \( \pi R^3 \):

\( \pi R^3 = 48 \cdot 3 = 144 \)

Объём шара вычисляется по формуле: \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3 \).

Мы знаем, что \( \pi R^3 = 144 \). Подставим это значение в формулу объёма шара:

\( V_{шара} = \frac{4}{3} \cdot 144 \)

\( V_{шара} = 4 \cdot \frac{144}{3} \)

\( V_{шара} = 4 \cdot 48 \)

\( V_{шара} = 192 \)

Ответ: 192