В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 16. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

DE — средняя линия треугольника ABC. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам (угол C — общий, углы CDE и CAB равны как накрест лежащие при параллельных DE и AB и секущей AC). Коэффициент подобия \( k = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\( \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \)

Нам дана площадь треугольника CDE \( S_{CDE} = 16 \). Подставим это значение:

\( \frac{16}{S_{CAB}} = \frac{1}{4} \)

Чтобы найти площадь треугольника ABC, умножим обе стороны уравнения на \( 4 \cdot S_{CAB} \):

\( 16 \cdot 4 = S_{CAB} \)

\( S_{CAB} = 64 \)

Ответ: 64