9. Корни уравнения x² - 16x + q = 0 относятся как 3 : 5. Найдите корни уравнения и свободный член q.

Пусть корни уравнения $$x^2 - 16x + q = 0$$ относятся как 3:5. Тогда $$x_1 = 3k$$, $$x_2 = 5k$$.

По теореме Виета:

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = 16 \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}$$

Подставим выражения для корней через $$k$$:

$$\begin{cases} 3k + 5k = 16 \\ 3k \cdot 5k = q \end{cases}$$

$$\begin{cases} 8k = 16 \\ 15k^2 = q \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$k = \frac{16}{8} = 2$$

Подставим во второе уравнение:

$$q = 15 \cdot 2^2 = 15 \cdot 4 = 60$$

Найдем корни уравнения:

$$x_1 = 3k = 3 \cdot 2 = 6$$

$$x_2 = 5k = 5 \cdot 2 = 10$$

Ответ: $$x_1 = 6$$, $$x_2 = 10$$, q = 60.