7. По окончании шахматного турнира все участники обменялись, друг с другом подарками. Сколько шахматистов приняло учас-тие в турнире, если количество подарков оказалось равным 90?

Пусть количество шахматистов, принявших участие в турнире, равно $$n$$. Каждый шахматист обменялся подарками с остальными $$n-1$$ шахматистами. Тогда общее количество подарков равно $$n \cdot (n-1)$$. Но, поскольку каждый обмен подарками учитывается дважды (от первого шахматиста ко второму и от второго к первому), то реальное количество подарков равно $$\frac{n(n-1)}{2}$$.

Составим уравнение:$$\frac{n(n-1)}{2} = 90$$

$$n(n-1) = 180$$

$$n^2 - n - 180 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 1 + 720 = 721$$

$$n_1 = \frac{1 + \sqrt{721}}{2}$$, $$n_2 = \frac{1 - \sqrt{721}}{2}$$

Так как количество шахматистов должно быть целым числом, то нужно проверить, является ли 721 полным квадратом. Найдем ближайшие квадраты: $$26^2 = 676$$, $$27^2 = 729$$. Следовательно, $$\sqrt{721}$$ не является целым числом, и корни уравнения не будут целыми числами.

Однако, можно подобрать значение $$n$$, при котором $$n(n-1) = 180$$. Заметим, что $$180 = 13.41 \cdot 13.41$$. Подберем числа, близкие к 13. $$13 \cdot 12 = 156$$, $$14 \cdot 13 = 182$$, $$15 \cdot 14 = 210$$. Т.е. мы не можем найти целое $$n$$, которое бы удовлетворяло условию. Вероятно, в условии есть ошибка.

Если количество подарков равно 72, то уравнение выглядит так:

$$\frac{n(n-1)}{2} = 72$$

$$n(n-1) = 144$$

$$n^2 - n - 144 = 0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 1 + 576 = 577$$

Тут та же проблема: не можем найти подходящее целое число.

Если количество подарков равно 90 * 2 = 180, значит каждый участник подарил по одному подарку, а не обменялся.

Тогда $$n(n-1) = 90$$

$$n^2 - n - 90 = 0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361 = 19^2$$

$$n_1 = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

$$n_2 = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$

Поскольку количество шахматистов не может быть отрицательным, то $$n = 10$$.

Ответ: 10.