10. Решите уравнение x(x + 1)(x + 3)(x + 4) = 40, используя метод замены переменной.

Решим уравнение $$x(x + 1)(x + 3)(x + 4) = 40$$, используя метод замены переменной.

Перегруппируем множители:

$$(x(x+4))((x+1)(x+3)) = 40$$

$$(x^2 + 4x)(x^2 + 3x + x + 3) = 40$$

$$(x^2 + 4x)(x^2 + 4x + 3) = 40$$

Сделаем замену: $$t = x^2 + 4x$$, тогда уравнение примет вид:

$$t(t + 3) = 40$$

$$t^2 + 3t - 40 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$$

$$t_1 = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$t_2 = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Вернемся к замене:

1) $$x^2 + 4x = 5$$

$$x^2 + 4x - 5 = 0$$

$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$$

$$x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

2) $$x^2 + 4x = -8$$

$$x^2 + 4x + 8 = 0$$

$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$$

Поскольку дискриминант отрицательный, то действительных корней нет.

Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -5$$.