16. Косинус острого угла А треугольника АВС равен 4. Найдите sin A. Ответ:

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое связывает синус и косинус одного и того же угла:

\[sin^2(A) + cos^2(A) = 1\]

Нам дано, что cos(A) = \(\frac{4}{5}\). Подставим это значение в тригонометрическое тождество:

\[sin^2(A) + (\frac{4}{5})^2 = 1\] \[sin^2(A) + \frac{16}{25} = 1\]

Теперь найдем sin²(A):

\[sin^2(A) = 1 - \frac{16}{25}\] \[sin^2(A) = \frac{25}{25} - \frac{16}{25}\] \[sin^2(A) = \frac{9}{25}\]

Извлечем квадратный корень, чтобы найти sin(A). Так как угол A острый, то синус будет положительным:

\[sin(A) = \sqrt{\frac{9}{25}}\] \[sin(A) = \frac{3}{5}\]

Ответ: \(\frac{3}{5}\)

Проверка за 10 секунд: sin²(A) + cos²(A) = 1 => sin(A) = \(\sqrt{1 - cos^2(A)}\) = \(\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}\) = \(\frac{3}{5}\).

Лайфхак: Если дан косинус угла как дробь \(\frac{a}{b}\), и нужно найти синус, можно воспользоваться прямоугольным треугольником. Зная, что cos(A) = \(\frac{прилежащий\,катет}{гипотенуза}\), можно найти противолежащий катет по теореме Пифагора и затем вычислить синус как отношение противолежащего катета к гипотенузе.