21. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 12 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Кузнечик может оказаться в любой точке от -12 до 12. Чтобы найти количество различных точек, в которых кузнечик может оказаться, нужно учесть, что кузнечик может перемещаться как в положительном, так и в отрицательном направлении. После каждого прыжка кузнечик может оказаться либо на единицу правее, либо на единицу левее.

Чтобы определить, в каких точках кузнечик может оказаться, нужно понять, что общее количество прыжков равно 12. Пусть x - количество прыжков вправо, а y - количество прыжков влево. Тогда:

x + y = 12

Положение кузнечика на координатной прямой будет равно разности между количеством прыжков вправо и количеством прыжков влево:

Положение = x - y

Из первого уравнения выразим y: y = 12 - x

Подставим это выражение во второе уравнение:

Положение = x - (12 - x) = 2x - 12

Так как x и y должны быть неотрицательными целыми числами, x может принимать значения от 0 до 12. Тогда положение кузнечика может быть:

2 * 0 - 12 = -12

2 * 1 - 12 = -10

2 * 2 - 12 = -8

2 * 3 - 12 = -6

2 * 4 - 12 = -4

2 * 5 - 12 = -2

2 * 6 - 12 = 0

2 * 7 - 12 = 2

2 * 8 - 12 = 4

2 * 9 - 12 = 6

2 * 10 - 12 = 8

2 * 11 - 12 = 10

2 * 12 - 12 = 12

Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: -12, -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Количество различных точек равно 13.

Ответ: 13