К-3 Вариант 3 1. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C = 90°, ∠ABC = 30°, AC = 2, Е и F - середины АВ И ВС соответст- венно. Найдите: 1) ВABC; 2) BA. AC; 3) EFBC.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с углом ∠C = 90° и углом ∠ABC = 30°. Сторона AC = 2. E и F — середины сторон AB и BC соответственно.

1) Необходимо найти $$\vec{BA} \cdot \vec{BC}$$.

Так как E и F — середины сторон AB и BC, то EF — средняя линия треугольника ABC. Значит, EF || AC и EF = 1/2 AC = 1.

По теореме косинусов для скалярного произведения векторов: $$\vec{BA} \cdot \vec{BC}$$ = |BA| \cdot |BC| \cdot cos(∠ABC).

В прямоугольном треугольнике ABC: sin(∠ABC) = AC / AB, следовательно, AB = AC / sin(30°) = 2 / (1/2) = 4.

cos(∠ABC) = BC / AB, следовательно, BC = AB \cdot cos(30°) = 4 \cdot (√3 / 2) = 2√3.

Тогда, $$\vec{BA} \cdot \vec{BC}$$ = 4 \cdot 2√3 \cdot cos(30°) = 8√3 \cdot (√3 / 2) = 8 \cdot 3 / 2 = 12.

2) Найти $$\vec{BA} \cdot \vec{AC}$$.

$$\vec{BA} \cdot \vec{AC}$$ = |BA| \cdot |AC| \cdot cos(∠BAC).

∠BAC = 90° - ∠ABC = 90° - 30° = 60°.

Тогда $$\vec{BA} \cdot \vec{AC}$$ = 4 \cdot 2 \cdot cos(60°) = 8 \cdot (1/2) = 4.

3) Найти $$\vec{EF} \cdot \vec{BC}$$.

Так как EF || AC, то $$\vec{EF} \cdot \vec{BC}$$ = |EF| \cdot |BC| \cdot cos(∠BCA) = |EF| \cdot |BC| \cdot cos(90°) = 0.

Ответ: 1) 12; 2) 4; 3) 0