Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
3. logx+1(2x2 – 3x + 1) ≤ 2.
Ответ:
Ответ: x ∈ (0; 0.5) ∪ (0.5; 1) ∪ (1; 2) ∪ (2; 3)
Краткое пояснение: Решаем логарифмическое неравенство, учитывая ОДЗ и свойства логарифмов.
Показать пошаговые вычисления
Шаг 1: Находим область допустимых значений (ОДЗ).- x + 1 > 0
- x + 1 ≠ 1
- 2x² - 3x + 1 > 0
- x + 1 > 0 ⇒ x > -1
- x + 1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0
- 2x² - 3x + 1 > 0. Корни: x = (3 ± √(9 - 8)) / 4 = (3 ± 1) / 4. x1 = (3 - 1) / 4 = 0.5; x2 = (3 + 1) / 4 = 1. ⇒ x < 0.5 или x > 1
- x > -1
- x ≠ 0
- x < 0.5 или x > 1
Шаг 2: Решаем неравенство. logx+1 (2x² - 3x + 1) ≤ 2 Рассмотрим два случая:
Случай 1: x + 1 > 1 (т.е. x > 0) Тогда знак неравенства сохраняется: 2x² - 3x + 1 ≤ (x + 1)² 2x² - 3x + 1 ≤ x² + 2x + 1 x² - 5x ≤ 0 x(x - 5) ≤ 0 Значит, 0 ≤ x ≤ 5 Учитывая x > 0, получаем 0 < x ≤ 5 Учитывая ОДЗ (x > -1, x ≠ 0, x < 0.5 или x > 1), получаем x ∈ (0; 0.5) ∪ (1; 5]
Случай 2: 0 < x + 1 < 1 (т.е. -1 < x < 0) Тогда знак неравенства меняется: 2x² - 3x + 1 ≥ (x + 1)² 2x² - 3x + 1 ≥ x² + 2x + 1 x² - 5x ≥ 0 x(x - 5) ≥ 0 Значит, x ≤ 0 или x ≥ 5 Учитывая -1 < x < 0, получаем -1 < x < 0 Учитывая ОДЗ (x > -1, x ≠ 0, x < 0.5 или x > 1), получаем x ∈ (-1; 0)
Объединяем решения из обоих случаев: x ∈ (-1; 0) ∪ (0; 0.5) ∪ (1; 5] Учитывая ОДЗ: x ∈ (-1; 0) ∪ (0; 0.5) ∪ (1; +∞), получаем x ∈ (-1; 0) ∪ (0; 0.5) ∪ (1; 5]
Ответ: x ∈ (0; 0.5) ∪ (0.5; 1) ∪ (1; 2) ∪ (2; 3)
Цифровой атлет
Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил
Похожие
