МАТЕМАТИКА. Профильный уровень. 11 кл. 3/3 17 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС меншая диагональ АС инлается биссектрисой тупого угла Си равна 8. Точка 1- середина этой диагонали. а) Докажите, что треугольники АВС и ДНА подобные 6) Найдите длину большего основания трапеции, если оё средняя линия ришни В.

Решение:

a) Докажем, что треугольники ABC и DCA подобны:

• В прямоугольной трапеции ABCD, AC - биссектриса угла C.
• Угол BCA равен углу CAD как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.
• Угол BAC равен углу DCA, так как AC - биссектриса угла C.
• Следовательно, треугольники ABC и DCA подобны по двум углам.

б) Найдем длину большего основания трапеции, если её средняя линия равна 8:

• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\[\frac{BC + AD}{2} = 8\]

• Из подобия треугольников ABC и DCA следует:

\[\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD}\] \[BC \cdot AD = AC^2 = 8^2 = 64\]

• Пусть BC = x, тогда AD = 64/x. Подставим в уравнение средней линии:

\[\frac{x + \frac{64}{x}}{2} = 8\] \[x + \frac{64}{x} = 16\] \[x^2 - 16x + 64 = 0\] \[(x - 8)^2 = 0\] \[x = 8\]

• Следовательно, BC = 8 и AD = 64/8 = 8.

• Трапеция ABCD - прямоугольник, и большее основание равно 8.

Ответ: б) 8