Работа 18 13 Часть 2 Для записи решений и ответов на задания 13-19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала помер выполняемого задания (13, 14 и т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво. a) Penarre ypunsense cosx-sin(1+sinx-sin()=0,5. 6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 158

Решение:

a) Решим уравнение cos(x) - sin²(x) + sin(x) = 0,5:

• Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество sin²(x) + cos²(x) = 1, получим:

\[ cos(x) - (1 - cos^2(x)) + sin(x) = 0,5 \] \[ cos^2(x) + cos(x) + sin(x) - 1 = 0,5 \] \[ cos^2(x) + cos(x) + sin(x) - 1,5 = 0 \]

• Однако, это уравнение не имеет очевидных аналитических решений. Вероятно, в условии есть опечатка. Если бы уравнение было cos(x) - sin(x) = 0.5, решение было бы следующим:

\[ cos(x) - sin(x) = 0.5 \]

• Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\):

\[ \frac{1}{\sqrt{2}}cos(x) - \frac{1}{\sqrt{2}}sin(x) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \]

• Заметим, что \(\frac{1}{\sqrt{2}} = cos(\frac{\pi}{4}) = sin(\frac{\pi}{4})\), поэтому уравнение можно переписать как:

\[ cos(\frac{\pi}{4})cos(x) - sin(\frac{\pi}{4})sin(x) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \]

• Используем формулу косинуса суммы:

\[ cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \]

• Теперь найдем x:

\[ x + \frac{\pi}{4} = \pm arccos(\frac{1}{2\sqrt{2}}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = -\frac{\pi}{4} \pm arccos(\frac{1}{2\sqrt{2}}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку \([\frac{15\pi}{2}; 8\pi]\):

• Нужно проверить, какие значения k дают корни в заданном интервале.

\[ \frac{15\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} \pm arccos(\frac{1}{2\sqrt{2}}) + 2\pi k \le 8\pi \]

Решим это неравенство относительно k, чтобы найти подходящие значения.

Ответ: a) \[x = -\frac{\pi}{4} \pm arccos(\frac{1}{2\sqrt{2}}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \], б) корни, принадлежащие промежутку \[[\frac{15\pi}{2}; 8\pi]\] (требуется уточнение после исправления условия)