Математика/ОГЭ/ЕГЭ/ВПР/«Учи математику» Рабочий лист №28 на тему «Условная вероятность. Правило умножения вероятностей» Повторение (устно) 1. Симметричную монету бросают 5 раз. Какова вероятность того, что все пять раз монета выпала одной и той же стороной? 2. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков делится: а) на 2; б) на 3; в) на 5. 3. Игральную кость бросают 4 раза. Вероятность какого события больше: «сумма очков делится на 4» или «сумма очков делится на 8? 4. В некотором случайном опыте известны вероятности двух событий: Р(А)=0,7 и Р(В)=0,4. Может ли пересечение этих событий иметь нулевую вероятность? Работа по теме урока Пример 1. В семье двое детей. а) Какова вероятность того, что в семье оба ребенка девочки? 6) Известно, что один из них девочка. Какова вероятность того, что другой ребёнок тоже девочка? Пример 2. Правильную игральную кость бросают дважды. Найдите вероятности событий: а) «в первый раз выпало менее шести очков, и сумма очков равна 8»; 6) «в первый раз выпало менее шести очков», если известно, что сумма выпавших очков равна 8. Пример 3. В коробке 5 красных и 5 синих карандашей. По очереди из коробки извлекают два случайных карандаша.

Повторение (устно)

1. Симметричную монету бросают 5 раз. Какова вероятность того, что все пять раз монета выпала одной и той же стороной?

   Монета может выпасть либо орлом, либо решкой. Вероятность каждого из этих исходов равна \( \frac{1}{2} \). Все пять раз монета должна выпасть одной и той же стороной, то есть либо все пять раз орлом, либо все пять раз решкой.

   Вероятность того, что монета выпадет 5 раз орлом: \( (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} \)

   Вероятность того, что монета выпадет 5 раз решкой: \( (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} \)

   Вероятность того, что монета выпадет одной и той же стороной (либо все орлом, либо все решкой): \( \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16} \)

   Ответ: Вероятность равна \( \frac{1}{16} \)

2. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков делится:

   а) на 2

   Сумма очков делится на 2, если она четная. Четная сумма получается, когда оба числа четные или оба нечетные. Вероятность выпадения четного числа: \( \frac{1}{2} \), вероятность выпадения нечетного числа: \( \frac{1}{2} \).

   Вероятность того, что оба числа четные: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

   Вероятность того, что оба числа нечетные: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

   Вероятность того, что сумма делится на 2: \( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

   Ответ: Вероятность равна \(\frac{1}{2}\)

   б) на 3

   Сумма очков делится на 3, если она равна 3, 6, 9 или 12.

   • Сумма 3: (1, 2), (2, 1) - 2 случая
   • Сумма 6: (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3) - 5 случаев
   • Сумма 9: (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4) - 4 случая
   • Сумма 12: (6, 6) - 1 случай

   Всего: 2 + 5 + 4 + 1 = 12 случаев.

   Общее количество исходов: 36 (6 вариантов первого броска и 6 вариантов второго броска).

   Вероятность: \( \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \).

   Ответ: Вероятность равна \(\frac{1}{3}\)

   в) на 5

   Сумма очков делится на 5, если она равна 5 или 10.

   • Сумма 5: (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) - 4 случая
   • Сумма 10: (4, 6), (6, 4), (5, 5) - 3 случая

   Всего: 4 + 3 = 7 случаев.

   Вероятность: \( \frac{7}{36} \).

   Ответ: Вероятность равна \(\frac{7}{36}\)

3. Игральную кость бросают 4 раза. Вероятность какого события больше: «сумма очков делится на 4» или «сумма очков делится на 8»?

   Этот вопрос требует очень большого количества вычислений, так как нужно рассмотреть все возможные комбинации 4 бросков. Можно предположить, что вероятность «сумма очков делится на 4» будет больше, так как число 4 меньше 8, и, следовательно, достичь суммы, кратной 4, проще, чем суммы, кратной 8.

4. В некотором случайном опыте известны вероятности двух событий: Р(А)=0,7 и Р(В)=0,4. Может ли пересечение этих событий иметь нулевую вероятность?

   Пересечение двух событий — это событие, которое происходит, когда оба события А и В происходят одновременно. Вероятность пересечения двух событий не может быть больше вероятности каждого из событий в отдельности. Если пересечение имеет нулевую вероятность, это означает, что события А и В не могут произойти одновременно.

   Так как Р(А) = 0,7 и Р(В) = 0,4, пересечение может иметь нулевую вероятность, если события А и В несовместны.

   Ответ: Да, может, если события А и В несовместны.

Работа по теме урока

1. В семье двое детей.

   а) Какова вероятность того, что в семье оба ребенка девочки?

   Предположим, что вероятность рождения мальчика и девочки одинакова (0,5). Возможные варианты: ММ, МД, ДМ, ДД. Только один из этих вариантов (ДД) соответствует условию, что оба ребенка девочки. Вероятность каждого из этих вариантов равна 0,25.

   Ответ: \( \frac{1}{4} \) или 0,25.

   б) Известно, что один из них девочка. Какова вероятность того, что другой ребёнок тоже девочка?

   Если известно, что один из детей — девочка, то возможные варианты: МД, ДМ, ДД. Из этих вариантов только один (ДД) соответствует условию, что оба ребенка девочки.

   Ответ: Вероятность равна \( \frac{1}{3} \).

2. Правильную игральную кость бросают дважды. Найдите вероятности событий:

   а) «в первый раз выпало менее шести очков, и сумма очков равна 8»;

   Менее шести очков означает 1, 2, 3, 4 или 5. Сумма очков равна 8, поэтому рассмотрим пары, которые удовлетворяют обоим условиям: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3).

   Вероятность каждого исхода (броска кости): \( \frac{1}{36} \). Всего благоприятных исходов: 4.

   Вероятность: \( \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \).

   Ответ: \( \frac{1}{9} \)

   б) «в первый раз выпало менее шести очков», если известно, что сумма выпавших очков равна 8.

   Если сумма выпавших очков равна 8, возможные варианты: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).

   Из них те, где в первый раз выпало менее шести очков: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3). То есть 4 варианта из 5.

   Вероятность: \( \frac{4}{5} \).

   Ответ: \( \frac{4}{5} \)

3. В коробке 5 красных и 5 синих карандашей. По очереди из коробки извлекают два случайных карандаша.

   Найдите вероятность того, что сначала появится красный, а затем синий карандаш.

   Вероятность вытащить первым красный карандаш: \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).

   После того как вытащили красный карандаш, осталось 4 красных и 5 синих карандашей. Вероятность вытащить затем синий карандаш: \( \frac{5}{9} \).

   Вероятность того, что сначала появится красный, а затем синий карандаш: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{18} \).

   Ответ: \( \frac{5}{18} \)