Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/3 t^3 - 3t^2 - 5t + 3, где х — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение:

Скорость точки — это первая производная от координаты по времени:

\( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{3}t^3 - 3t^2 - 5t + 3) \)

Найдём производную:

\( v(t) = t^2 - 6t - 5 \)

Нам нужно найти время, когда скорость равна \( 2 \) м/с:

\( v(t) = 2 \)

Приравняем выражение для скорости к \( 2 \):

\[ t^2 - 6t - 5 = 2 \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ t^2 - 6t - 7 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \]

Корни уравнения:

\[ t_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ t_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень.

Ответ: 7 с.