Составить уравнение касательной к графику функции y = (x^3 + 1) / 3 в точке с абсциссой x_0 = -1.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид:

\[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \]

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = -1 \):

\( f(-1) = \frac{(-1)^3 + 1}{3} = \frac{-1 + 1}{3} = \frac{0}{3} = 0 \)

2. Найдем производную функции. Используем правило дифференцирования дроби:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3 + 1}{3}\right) = \frac{1}{3} \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = \frac{1}{3}(3x^2) = x^2 \)

3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = -1 \):

\( f'(-1) = (-1)^2 = 1 \)

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

\( y = 0 + 1(x - (-1)) \)

\( y = x + 1 \)

Ответ: y = x + 1.