74. ME || BK, MB = EK, \(S_{MEKB}\) = ?

Поскольку ME || BK и MB = EK, то MEKB - равнобедренная трапеция. Пусть OT - высота трапеции, и она равна радиусу вписанной окружности, то есть OT = 2. Найдем высоту трапеции. Опустим высоту MH на основание BK, получим прямоугольный треугольник MBH, где MB = EK. Так как трапеция равнобедренная, то BH = \(\frac{BK - ME}{2}\). BK = BT + TK = BT + 2 + 2 = 4. BT = TK (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны). Тогда BK = 4. BH = \(\frac{4-2}{2} = 1\). По теореме Пифагора, \(MH = \sqrt{MB^2 - BH^2} = \sqrt{MB^2 - 1}\). Площадь трапеции MEKB равна полусумме оснований на высоту. \(S_{MEKB} = \frac{ME + BK}{2} * MH = \frac{2+4}{2} * MH = 3 * MH\). Рассмотрим прямоугольный треугольник MTO, где TO = 2 (радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной), MO = r (радиус). \(MT^2 + TO^2 = MO^2\). Так как ME - касательная к окружности, то MT = \(\frac{1}{2}\)ME = 1. Тогда \(MO^2 = 1^2 + 2^2 = 5\). Значит, \(MO = \sqrt{5}\). Но MO не равно MB, поэтому нужно найти другое решение. В данном случае, поскольку трапеция описана около окружности, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. ME + BK = MB + EK = 2 + 4 = 6 Так как MB = EK, то MB = EK = 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник MBH, MH = \(\sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Тогда \(S_{MEKB} = \frac{ME + BK}{2} * MH = \frac{2+4}{2} * 2\sqrt{2} = 3 * 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). Ответ: \(6\sqrt{2}\)