231. Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

Так как медиана AM равна половине стороны BC, а AM является медианой, то BM = MC = AM = BC/2. Это означает, что треугольник ABM и ACM - равнобедренные. Пусть ∠ABM = ∠BAM = x и ∠ACM = ∠CAM = y. Тогда ∠BAC = ∠BAM + ∠CAM = x + y. В треугольнике ABC, ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180°, то есть x + y + (x + y) = 180°. 2(x + y) = 180°, x + y = 90°. Следовательно, ∠BAC = 90°, и треугольник ABC прямоугольный.