11. Медиана прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла C, равна 6,5. Найдите площадь треугольника ABC, если cos \angle B = \frac{5}{13}.

Пусть медиана, проведенная из вершины прямого угла C, равна CM. Так как CM является медианой прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, то CM = AM = BM = 6,5. Следовательно, AB = AM + MB = 6,5 + 6,5 = 13. Дано, что \(\cos B = \frac{5}{13}\). В прямоугольном треугольнике \(\cos B = \frac{BC}{AB}\), следовательно, \(BC = AB \cdot \cos B = 13 \cdot \frac{5}{13} = 5\). По теореме Пифагора, \(AC^2 + BC^2 = AB^2\), значит, \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\), и \(AC = \sqrt{144} = 12\). Площадь треугольника ABC равна \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30\). Ответ: **30**