20.Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к боковой стороне, образует с другой боковой стороной угол 30°. Найдите углы треугольника.

20. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Медиана BD проведена к стороне AC, и угол DBC равен 30°. Пусть углы при основании AC равны x. Тогда угол BAC = угол BCA = x.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол ABC = 180° - 2x. Угол DBC = 30°, следовательно, угол ABD = 180° - 2x - 30° = 150° - 2x.

Рассмотрим треугольник BCD. BD - медиана, значит AD = DC. Угол BDC = 180° - (x + 30°). По теореме синусов для треугольника BCD:

$$\frac{BC}{\sin{(180 - (x+30))}} = \frac{DC}{\sin{30}}$$ $$\frac{BC}{\sin{(x+30)}} = \frac{DC}{\frac{1}{2}}$$ $$BC = 2DC\sin{(x+30)}$$ Учитывая, что AC = 2DC, и BC = AB, тогда BC = 2DC. Заменяем BC на 2DC:

$$2DC = 2DC\sin{(x+30)}$$ $$\sin{(x+30)} = 1$$ x + 30 = 90

x = 60

Угол BAC = угол BCA = 60°. Тогда угол ABC = 180° - 2*60° = 60°.

Получается, что треугольник ABC - равносторонний, все углы равны 60°.

Ответ: 60°, 60°, 60°