Решение задач по теме «Прямоугольный треугольник с углом в 30°» 17. Найдите длину биссектрисы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника с углом 120°, если его боковая сторона равна 8.

17. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где угол C равен 120°, а боковые стороны AC и BC равны 8. Биссектриса, проведённая к основанию AB, также является высотой и медианой. Пусть CD - биссектриса.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Следовательно, CD - биссектриса угла C, высота и медиана.

Рассмотрим треугольник ADC. Угол C равен 120°, значит угол ACD равен половине угла C, то есть 60°.

Для нахождения длины AD, воспользуемся теоремой синусов в треугольнике ABC:

$$\frac{AB}{\sin{120^\circ}} = \frac{AC}{\sin{A}}$$ Угол A равен углу B, и они равны (180° - 120°) / 2 = 30°.

$$\frac{AB}{\sin{120^\circ}} = \frac{8}{\sin{30^\circ}}$$ $$\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}}$$ $$AB = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{3}$$ Так как CD - медиана, то AD = AB / 2 = $$\frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Найдём длину биссектрисы CD.

$$\tan{30^\circ} = \frac{AD}{CD}$$ $$CD = \frac{AD}{\tan{30^\circ}} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 12$$

Ответ: 12