19.В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, в два раза меньше одного из катетов. Найдите острые углы треугольника.

19. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) проведена высота CH к гипотенузе AB. Пусть CH = h, AC = a, BC = b, AB = c. По условию, высота h в два раза меньше одного из катетов. Рассмотрим два случая:

Случай 1: h = a / 2. Выразим площадь треугольника двумя способами: $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$$ $$ab = ch$$ Подставим h = a / 2: $$ab = c(\frac{a}{2})$$ $$b = \frac{c}{2}$$ Таким образом, катет BC в два раза меньше гипотенузы. Следовательно, угол A = 30°, а угол B = 60°.

Случай 2: h = b / 2. Аналогично, получим a = c / 2. Следовательно, угол B = 30°, а угол A = 60°.

Ответ: 30°, 60°