5. Медное кольцо из провода диаметром 2 мм расположено в однородном магнитном поле, магнитная индукция которого меняется по модулю со скоростью 1,09 Тл/с. Плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции. Чему равен диаметр кольца, если возникающий в нем индукционный ток равен 10 А? Удельное сопротивление меди ρ = 1,72·10⁻⁸ Ом·м.

Пошаговое решение:

• ЭДС индукции определяется как: \[ E = -\frac{d\Phi}{dt} = -S \frac{dB}{dt} \], где:
• \( S \) – площадь кольца, \[ S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4} \], где \( D \) – диаметр кольца,
• \( \frac{dB}{dt} \) – скорость изменения магнитной индукции.
• По закону Ома для полной цепи: \[ I = \frac{E}{R} \], где \( R \) – сопротивление кольца.
• Сопротивление кольца: \[ R = \rho \frac{l}{S_\text{провода}} = \rho \frac{\pi D}{\pi r_\text{провода}^2} = \rho \frac{D}{r_\text{провода}^2} \], где:
• \( \rho \) – удельное сопротивление меди,
• \( l \) – длина кольца, \[ l = \pi D \],
• \( S_\text{провода} \) – площадь поперечного сечения провода, \[ S_\text{провода} = \pi r_\text{провода}^2 \],
• \( r_\text{провода} \) – радиус провода, \[ r_\text{провода} = \frac{d}{2} \], где \( d \) – диаметр провода.
• Подставим выражения для \( E \) и \( R \) в закон Ома: \[ I = \frac{\frac{\pi D^2}{4} \cdot \frac{dB}{dt}}{\rho \frac{D}{r_\text{провода}^2}} = \frac{\pi D^2 \cdot \frac{dB}{dt} \cdot r_\text{провода}^2}{4 \rho D} = \frac{\pi D \cdot \frac{dB}{dt} \cdot r_\text{провода}^2}{4 \rho} \]
• Выразим диаметр кольца \( D \): \[ D = \frac{4 \rho I}{\pi \cdot \frac{dB}{dt} \cdot r_\text{провода}^2} = \frac{4 \rho I}{\pi \cdot \frac{dB}{dt} \cdot (d/2)^2} = \frac{4 \rho I}{\pi \cdot \frac{dB}{dt} \cdot \frac{d^2}{4}} = \frac{16 \rho I}{\pi \cdot \frac{dB}{dt} \cdot d^2} \]
• Подставим известные значения: \[ D = \frac{16 \cdot 1.72 \cdot 10^{-8} \text{ Ом·м} \cdot 10 \text{ А}}{\pi \cdot 1.09 \text{ Тл/с} \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2} \]
• Рассчитаем: \[ D = \frac{16 \cdot 1.72 \cdot 10^{-8} \cdot 10}{\pi \cdot 1.09 \cdot 4 \cdot 10^{-6}} = \frac{16 \cdot 1.72 \cdot 10^{-2}}{\pi \cdot 1.09 \cdot 4} = \frac{4 \cdot 1.72 \cdot 10^{-2}}{\pi \cdot 1.09} \approx \frac{0.0688}{3.42} \approx 0.0201 \text{ м} = 2.01 \text{ см} \]

Ответ: 2.01 см