28.4. Методом замены переменной решите уравнение: a) (x² - 4x)² - (x² - 4x) – 20 = 0; б) (x² + x)² + 3(x² + x) – 10 = 0; в) 2(x² - x + 1)² - 3(x² - x + 1) − 2 = 0; г) (x² – 3x + 3)² - 2(x² - 3x + 3) + 1 = 0.

a) $$(x^2 - 4x)^2 - (x^2 - 4x) - 20 = 0$$

Пусть $$t = x^2 - 4x$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - t - 20 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$

$$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2 - 4x = 5$$ или $$x^2 - 4x = -4$$

Решим первое уравнение:

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Решим второе уравнение:

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

$$(x - 2)^2 = 0$$

$$x_3 = 2$$

Ответ: $$x_1 = 5, x_2 = -1, x_3 = 2$$

б) $$(x^2 + x)^2 + 3(x^2 + x) - 10 = 0$$

Пусть $$t = x^2 + x$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + 3t - 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

$$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2 + x = 2$$ или $$x^2 + x = -5$$

Решим первое уравнение:

$$x^2 + x - 2 = 0$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Решим второе уравнение:

$$x^2 + x + 5 = 0$$

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$$ - нет решений, так как дискриминант меньше нуля.

Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -2$$

в) $$2(x^2 - x + 1)^2 - 3(x^2 - x + 1) - 2 = 0$$

Пусть $$t = x^2 - x + 1$$, тогда уравнение примет вид:

$$2t^2 - 3t - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

$$t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

$$t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2 - x + 1 = 2$$ или $$x^2 - x + 1 = -\frac{1}{2}$$

Решим первое уравнение:

$$x^2 - x - 1 = 0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$

$$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$

$$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$

Решим второе уравнение:

$$x^2 - x + \frac{3}{2} = 0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (\frac{3}{2}) = 1 - 6 = -5$$ - нет решений, так как дискриминант меньше нуля.

Ответ: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$

г) $$(x^2 – 3x + 3)^2 - 2(x^2 - 3x + 3) + 1 = 0$$

Пусть $$t = x^2 - 3x + 3$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 2t + 1 = 0$$

$$(t - 1)^2 = 0$$

$$t = 1$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2 - 3x + 3 = 1$$

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$

$$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = 1$$