28.3. Решите уравнение: a) (x - 2)⁴ -8(x – 2)² + 7 = 0; b) (x² + 5)² - 2(x²+5) – 15 = 0. б) (3x - 1)⁴ - (3x - 1)² – 56 = 0.

a) (x - 2)⁴ - 8(x - 2)² + 7 = 0

Пусть $$t = (x - 2)^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 8t + 7 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$$

$$t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

$$t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Возвращаемся к замене:

$$(x - 2)^2 = 7$$ или $$(x - 2)^2 = 1$$

Решим первое уравнение:

$$x - 2 = \sqrt{7}$$ или $$x - 2 = -\sqrt{7}$$

$$x_1 = 2 + \sqrt{7}$$

$$x_2 = 2 - \sqrt{7}$$

Решим второе уравнение:

$$x - 2 = 1$$ или $$x - 2 = -1$$

$$x_3 = 3$$

$$x_4 = 1$$

Ответ: $$x_1 = 2 + \sqrt{7}, x_2 = 2 - \sqrt{7}, x_3 = 3, x_4 = 1$$

b) (x² + 5)² - 2(x²+5) – 15 = 0

Пусть $$t = x^2 + 5$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 2t - 15 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$

$$t_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$t_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2 + 5 = 5$$ или $$x^2 + 5 = -3$$

Решим первое уравнение:

$$x^2 = 0$$

$$x_1 = 0$$

Решим второе уравнение:

$$x^2 = -8$$ - нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным числом.

Ответ: $$x = 0$$

б) $$(3x - 1)^4 - (3x - 1)^2 – 56 = 0$$

Пусть $$t = (3x - 1)^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - t - 56 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$$

$$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Возвращаемся к замене:

$$(3x - 1)^2 = 8$$ или $$(3x - 1)^2 = -7$$

Решим первое уравнение:

$$3x - 1 = \sqrt{8}$$ или $$3x - 1 = -\sqrt{8}$$

$$3x_1 = 1 + \sqrt{8}$$

$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{8}}{3}$$

$$3x_2 = 1 - \sqrt{8}$$

$$x_2 = \frac{1 - \sqrt{8}}{3}$$

Решим второе уравнение:

$$(3x - 1)^2 = -7$$ - нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным числом.

Ответ: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{8}}{3}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{8}}{3}$$