28.6*. Выполните замену переменной и решите уравнение a) (x² - x - 1)(x²-x - 7) + 5 = 0; б) (x²-7x+16)(x²-7x+17) = 20;

a) $$(x^2 - x - 1)(x^2 - x - 7) + 5 = 0$$

Введём замену: $$t = x^2 - x$$, тогда уравнение преобразуется в:

$$ (t - 1)(t - 7) + 5 = 0 $$

$$ t^2 - 7t - t + 7 + 5 = 0 $$

$$ t^2 - 8t + 12 = 0 $$

$$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 $$

$$ t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4}{2} = 6 $$

$$ t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4}{2} = 2 $$

Возвращаемся к замене:

$$ x^2 - x = 6 \quad \text{или} \quad x^2 - x = 2 $$

Решим первое уравнение:

$$ x^2 - x - 6 = 0 $$

$$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $$

$$ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 $$

$$ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2 $$

Решим второе уравнение:

$$ x^2 - x - 2 = 0 $$

$$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $$

$$ x_3 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2 $$

$$ x_4 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1 $$

Ответ: $$ x_1 = 3, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 2, \quad x_4 = -1 $$

б) $$(x^2 - 7x + 16)(x^2 - 7x + 17) = 20$$

Введём замену: $$t = x^2 - 7x$$, тогда уравнение преобразуется в:

$$ (t + 16)(t + 17) = 20 $$

$$ t^2 + 17t + 16t + 272 = 20 $$

$$ t^2 + 33t + 252 = 0 $$

$$ D = 33^2 - 4 \cdot 1 \cdot 252 = 1089 - 1008 = 81 $$

$$ t_1 = \frac{-33 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-33 + 9}{2} = -12 $$

$$ t_2 = \frac{-33 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-33 - 9}{2} = -21 $$

Возвращаемся к замене:

$$ x^2 - 7x = -12 \quad \text{или} \quad x^2 - 7x = -21 $$

Решим первое уравнение:

$$ x^2 - 7x + 12 = 0 $$

$$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 $$

$$ x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = 4 $$

$$ x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = 3 $$

Решим второе уравнение:

$$ x^2 - 7x + 21 = 0 $$

$$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 49 - 84 = -35 $$

Так как D < 0, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: $$ x_1 = 4, \quad x_2 = 3 $$