28.5*. Решите уравнение: a) (x²-2x)² - 8x² + 16x + 7 = 0; б) (x² - 5x)² - 2x² + 10x - 24 = 0; в) (x2 – 2x - 5)² - 2x² + 4x + 7 = 0; г) (x² – 5x – 23)² - 2x² - 10x + 47 = 0.

a) $$ (x^2 - 2x)^2 - 8x^2 + 16x + 7 = 0 $$

Преобразуем уравнение:

$$ (x^2 - 2x)^2 - 8(x^2 - 2x) + 7 = 0 $$

Замена переменной: пусть $$ t = x^2 - 2x $$, тогда уравнение принимает вид:

$$ t^2 - 8t + 7 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 $$

$$ t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = 7 $$

$$ t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = 1 $$

Теперь вернемся к замене:

$$ x^2 - 2x = 7 \quad \text{или} \quad x^2 - 2x = 1 $$

Решим первое уравнение:

$$ x^2 - 2x - 7 = 0 $$

$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32 $$

$$ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4\sqrt{2}}{2} = 1 + 2\sqrt{2} $$

$$ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4\sqrt{2}}{2} = 1 - 2\sqrt{2} $$

Решим второе уравнение:

$$ x^2 - 2x - 1 = 0 $$

$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 $$

$$ x_3 = \frac{-(-2) + \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} $$

$$ x_4 = \frac{-(-2) - \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2} $$

Ответ: $$ x_1 = 1 + 2\sqrt{2}, \quad x_2 = 1 - 2\sqrt{2}, \quad x_3 = 1 + \sqrt{2}, \quad x_4 = 1 - \sqrt{2} $$

б) $$ (x^2 - 5x)^2 - 2x^2 + 10x - 24 = 0 $$

Преобразуем уравнение:

$$ (x^2 - 5x)^2 - 2(x^2 - 5x) - 24 = 0 $$

Замена переменной: пусть $$ t = x^2 - 5x $$, тогда уравнение принимает вид:

$$ t^2 - 2t - 24 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 $$

$$ t_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = 6 $$

$$ t_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = -4 $$

Теперь вернемся к замене:

$$ x^2 - 5x = 6 \quad \text{или} \quad x^2 - 5x = -4 $$

Решим первое уравнение:

$$ x^2 - 5x - 6 = 0 $$

$$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 $$

$$ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = 6 $$

$$ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = -1 $$

Решим второе уравнение:

$$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$

$$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 $$

$$ x_3 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4 $$

$$ x_4 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1 $$

Ответ: $$ x_1 = 6, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = 4, \quad x_4 = 1 $$

в) $$(x^2 - 2x - 5)^2 - 2x^2 + 4x + 7 = 0$$

Преобразуем уравнение:

$$ (x^2 - 2x - 5)^2 - 2(x^2 - 2x) + 7 = 0 $$

$$ (x^2 - 2x - 5)^2 - 2(x^2 - 2x - 5) - 3 - 2(5) + 7 = 0 $$

$$ (x^2 - 2x - 5)^2 - 2(x^2 - 2x - 5) - 3 = 0 $$

Пусть $$t = x^2 - 2x - 5$$, тогда уравнение примет вид:

$$ t^2 - 2t - 3 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$t_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2 - 2x - 5 = 3$$ или $$x^2 - 2x - 5 = -1$$

Решим первое уравнение:

$$x^2 - 2x - 8 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

$$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$

Решим второе уравнение:

$$x^2 - 2x - 4 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$$

$$x_3 = \frac{-(-2) + \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5}$$

$$x_4 = \frac{-(-2) - \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{2} = 1 - \sqrt{5}$$

Ответ: $$x_1 = 4, x_2 = -2, x_3 = 1 + \sqrt{5}, x_4 = 1 - \sqrt{5}$$

г) $$(x^2 – 5x – 23)² - 2x² - 10x + 47 = 0$$

Преобразуем уравнение:

$$ (x^2 - 5x - 23)^2 - 2(x^2 + 5x) + 47 = 0$$

$$ (x^2 - 5x - 23)^2 - 2(x^2 - 5x - 23) - 2(5x) - 2(23) + 47 + 2(5x) = 0$$

$$ (x^2 - 5x - 23)^2 - 2(x^2 - 5x - 23) + 1 = 0 $$

Пусть $$t = x^2 - 5x - 23$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 2t + 1 = 0$$

$$(t - 1)^2 = 0$$

$$t = 1$$

Возвращаемся к замене:

$$x^2 - 5x - 23 = 1$$

$$x^2 - 5x - 24 = 0$$

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$$

$$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 11}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 11}{2} = -3$$

Ответ: $$x_1 = 8, x_2 = -3$$