3. \(MN = 36\) \(MP, PN - ?\)

3. В прямоугольном треугольнике \(\triangle KMN\) \(\angle M = 30^\circ\). Следовательно, \(KN = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18\) (катет, лежащий против угла в \(30^\circ\) равен половине гипотенузы). В прямоугольном треугольнике \(\triangle KPN\) \(\angle P = 90^\circ\). Следовательно, \(\angle KNP = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Тогда \(MP = \frac{1}{2}MN\) и \(\triangle KPN\) является прямоугольным, а не равносторонним. Поскольку \(\angle NKP = 60\), то \(\angle KNP = 30\). Значит \(KP = \frac{1}{2} KN\) и \(KP = 9\). Теперь можно найти \(MP = MN - KP = 36 - 9 = 27\). По теореме Пифагора для \(\triangle KPN\): \(PN^2 = KN^2 - KP^2 = 18^2 - 9^2 = 324 - 81 = 243\). \(PN = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}\). Ответ: \(MP = 27, PN = 9\sqrt{3}\)