Моторная лодка прошла 10 км против течения реки и 6 км по озеру, затратив на путь по озеру на 30 минут меньше, чем на путь по реке. Найдите скорость лодки по течению, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Дано:

\( S_{против теч. реки} = 10 \) км

\( S_{озеро} = 6 \) км

\( t_{озеро} = t_{против теч. реки} - 0.5 \) ч (так как 30 минут = 0.5 часа)

\( V_{течения} = 2 \) км/ч

Найти:

\( V_{по теч.} \) — скорость лодки по течению

Решение:

Пусть \( V_{лодки} \) — собственная скорость лодки.

Скорость лодки против течения: \( V_{против теч.} = V_{лодки} - V_{течения} = V_{лодки} - 2 \) км/ч.

Время в пути против течения: \( t_{против теч. реки} = \frac{S_{против теч. реки}}{V_{против теч.}} = \frac{10}{V_{лодки} - 2} \) ч.

На озере течение отсутствует, поэтому скорость лодки равна её собственной скорости: \( V_{озеро} = V_{лодки} \).

Время в пути по озеру: \( t_{озеро} = \frac{S_{озеро}}{V_{озеро}} = \frac{6}{V_{лодки}} \) ч.

По условию, \( t_{озеро} = t_{против теч. реки} - 0.5 \). Подставим выражения для времени:

\( \frac{6}{V_{лодки}} = \frac{10}{V_{лодки} - 2} - 0.5 \)

Решим это уравнение относительно \( V_{лодки} \).

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{6}{V_{лодки}} + 0.5 = \frac{10}{V_{лодки} - 2} \)

\( \frac{6 + 0.5 V_{лодки}}{V_{лодки}} = \frac{10}{V_{лодки} - 2} \)

Перемножим крест-накрест:

\( (6 + 0.5 V_{лодки})(V_{лодки} - 2) = 10 V_{лодки} \)

\( 6 V_{лодки} - 12 + 0.5 V_{лодки}^2 - V_{лодки} = 10 V_{лодки} \)

\( 0.5 V_{лодки}^2 + 5 V_{лодки} - 12 = 10 V_{лодки} \)

\( 0.5 V_{лодки}^2 - 5 V_{лодки} - 12 = 0 \)

Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\( V_{лодки}^2 - 10 V_{лодки} - 24 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 \). \( \sqrt{D} = 14 \).

Корни уравнения:

\( V_{лодки_1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) км/ч.

\( V_{лодки_2} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \) км/ч (этот корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

Итак, собственная скорость лодки \( V_{лодки} = 12 \) км/ч.

Теперь найдем скорость лодки по течению:

\( V_{по теч.} = V_{лодки} + V_{течения} = 12 \) км/ч + \( 2 \) км/ч = \( 14 \) км/ч.

Ответ: Скорость лодки по течению равна 14 км/ч.