Моторная лодка прошла 16 км против течения реки и 12 км по течению реки, затратив на весь путь 3 часа. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Какова собственная скорость моторной лодки?

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость моторной лодки (в км/ч).

Скорость лодки против течения: \( v - 2 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( v + 2 \) км/ч.

Время движения против течения: \( t_1 = \frac{16}{v - 2} \) часа.

Время движения по течению: \( t_2 = \frac{12}{v + 2} \) часа.

Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 3 \) часа.

1. Составим уравнение: \[ \frac{16}{v - 2} + \frac{12}{v + 2} = 3 \]
2. Приведем к общему знаменателю \( (v - 2)(v + 2) = v^2 - 4 \): \[ \frac{16(v + 2) + 12(v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = 3 \]
3. Раскроем скобки в числителе: \[ 16v + 32 + 12v - 24 = 3(v^2 - 4) \]
4. Упростим: \[ 28v + 8 = 3v^2 - 12 \]
5. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \[ 3v^2 - 28v - 20 = 0 \]
6. Найдем дискриминант: \[ D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 784 + 240 = 1024 \]
7. Найдем корни: \[ v_1 = \frac{28 + \sqrt{1024}}{2 \cdot 3} = \frac{28 + 32}{6} = \frac{60}{6} = 10 \] \[ v_2 = \frac{28 - \sqrt{1024}}{2 \cdot 3} = \frac{28 - 32}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \]
8. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v = 10 \) км/ч.

Ответ: 10 км/ч.