Моторная лодка прошла против течения реки 63 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч.

Решение:

Пусть \( v_t \) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v_{п = 8 + v_t} \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v_{пр} = 8 - v_t \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_{п} = \frac{63}{8 + v_t} \) ч.

Время в пути против течения: \( t_{пр} = \frac{63}{8 - v_t} \) ч.

По условию, на обратный путь (по течению) лодка затратила на 2 часа меньше:

\( t_{пр} - t_{п} = 2 \)

\[ \frac{63}{8 - v_t} - \frac{63}{8 + v_t} = 2 \]

Умножим обе части уравнения на \( (8 - v_t)(8 + v_t) = 64 - v_t^2 \) (при условии \( v_t \neq \pm 8 \)):

\[ 63(8 + v_t) - 63(8 - v_t) = 2(64 - v_t^2) \]

\[ 504 + 63v_t - 504 + 63v_t = 128 - 2v_t^2 \]

\[ 126v_t = 128 - 2v_t^2 \]

\[ 2v_t^2 + 126v_t - 128 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ v_t^2 + 63v_t - 64 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( v_t \):

• Дискриминант: \( D = 63^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 3969 + 256 = 4225 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65 \)
• Корни:

\[ v_{t1} = \frac{-63 + 65}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ v_{t2} = \frac{-63 - 65}{2} = \frac{-128}{2} = -64 \]

Так как скорость течения не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: Скорость течения реки равна 1 км/ч.